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当前位置: 场景题 > 系统设计高频面试题 > 9. Top k频繁项

寻找数据流中出现最频繁的k个元素(find top k frequent items in a data stream)。这个问题也称为 Heavy Hitters.

这题也是从实践中提炼而来的,例如搜索引擎的热搜榜,找出访问网站次数最多的前10个IP地址,等等。

方案1: HashMap + Heap

用一个 HashMap<String, Long>,存放所有元素出现的次数,用一个小根堆,容量为k,存放目前出现过的最频繁的k个元素,

  1. 每次从数据流来一个元素,如果在HashMap里已存在,则把对应的计数器增1,如果不存在,则插入,计数器初始化为1
  2. 在堆里查找该元素,如果找到,把堆里的计数器也增1,并调整堆;如果没有找到,把这个元素的次数跟堆顶元素比较,如果大于堆丁元素的出现次数,则把堆丁元素替换为该元素,并调整堆
  3. 空间复杂度O(n)。HashMap需要存放下所有元素,需要O(n)的空间,堆需要存放k个元素,需要O(k)的空间,跟O(n)相比可以忽略不急,总的时间复杂度是O(n)
  4. 时间复杂度O(n)。每次来一个新元素,需要在HashMap里查找一下,需要O(1)的时间;然后要在堆里查找一下,O(k)的时间,有可能需要调堆,又需要O(logk)的时间,总的时间复杂度是O(n(k+logk)),k是常量,所以可以看做是O(n)。

如果元素数量巨大,单机内存存不下,怎么办? 有两个办法,见方案2和3。

方案2: 多机HashMap + Heap

  • 可以把数据进行分片。假设有8台机器,第1台机器只处理hash(elem)%8==0的元素,第2台机器只处理hash(elem)%8==1的元素,以此类推。
  • 每台机器都有一个HashMap和一个 Heap, 各自独立计算出 top k 的元素
  • 把每台机器的Heap,通过网络汇总到一台机器上,将多个Heap合并成一个Heap,就可以计算出总的 top k 个元素了

方案3: Count-Min Sketch + Heap

既然方案1中的HashMap太大,内存装不小,那么可以用Count-Min Sketch算法代替HashMap,

  • 在数据流不断流入的过程中,维护一个标准的Count-Min Sketch 二维数组
  • 维护一个小根堆,容量为k
  • 每次来一个新元素,
    • 将相应的sketch增1
    • 在堆中查找该元素,如果找到,把堆里的计数器也增1,并调整堆;如果没有找到,把这个元素的sketch作为钙元素的频率的近似值,跟堆顶元素比较,如果大于堆丁元素的频率,则把堆丁元素替换为该元素,并调整堆

这个方法的时间复杂度和空间复杂度如下:

  • 空间复杂度O(dm)。m是二维数组的列数,d是二维数组的行数,堆需要O(k)的空间,不过k通常很小,堆的空间可以忽略不计
  • 时间复杂度O(nlogk)。每次来一个新元素,需要在二维数组里查找一下,需要O(1)的时间;然后要在堆里查找一下,O(logk)的时间,有可能需要调堆,又需要O(logk)的时间,总的时间复杂度是O(nlogk)

方案4: Lossy Counting

Lossy Couting 算法流程:

  1. 建立一个HashMap,用于存放每个元素的出现次数
  2. 建立一个窗口(窗口的大小由错误率决定,后面具体讨论)
  3. 等待数据流不断流进这个窗口,直到窗口满了,开始统计每个元素出现的频率,统计结束后,每个元素的频率减1,然后将出现次数为0的元素从HashMap中删除
  4. 返回第2步,不断循环

Lossy Counting 背后朴素的思想是,出现频率高的元素,不太可能减一后变成0,如果某个元素在某个窗口内降到了0,说明它不太可能是高频元素,可以不再跟踪它的计数器了。随着处理的窗口越来越多,HashMap也会不断增长,同时HashMap里的低频元素会被清理出去,这样内存占用会保持在一个很低的水平。

很显然,Lossy Counting 算法是个近似算法,但它的错误率是可以在数学上证明它的边界的。假设要求错误率不大于ε,那么窗口大小为1/ε,对于长度为N的流,有N/(1/ε)=εN 个窗口,由于每个窗口结束时减一了,那么频率最多被少计数了窗口个数εN。

该算法只需要一遍扫描,所以时间复杂度是O(n)

该算法的内存占用,主要在于那个HashMap, Gurmeet Singh Manku 在他的论文里,证明了HashMap里最多有 1/ε log (εN)个元素,所以空间复杂度是O(1/ε log (εN))


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