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剑指offer 47.礼物的最大值

题目描述

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

  • 0 < grid.length <= 200
  • 0 < grid[0].length <= 200

算法

(动态规划) O(n^2)

状态表示：f[i][j]，表示走到第 (i, j) 这个格子时能拿到礼物的最大价值

状态计算： 每次只能向右或向下走，所以只能从左边或上边到达 (i, j)

  1. 左边，f[i][j] = f[i][j - 1]
  2. 右边，f[i][j] = f[i - 1][j]

两者取 max

边界：f[n][m] 就是答案

时间复杂度

状态数量 n^2 个，状态转移所需时间是 O(1)，所以总时间复杂度为 O(n^2)

空间复杂度

O(n^2)

C++ 代码

class Solution {
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
        // n 是行 m 是列
        int n = grid.size(), m = grid[0].size();
        vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(m + 1));

        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= m; j ++ )
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];
        
        return f[n][m];
    }
};

Java 代码

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int n = grid.length;
        int m = grid[0].length;
        int[][] f = new int[n + 1][m + 1];

        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
            for (int j = 1; j <= m; j ++ ) {
                f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];
            }
        }

        return f[n][m];
    }
}

Python 代码

class Solution:
    def maxValue(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        n = len(grid)
        m = len(grid[0])
        f = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]

        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, m + 1):
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + grid[i - 1][j - 1]

        return f[n][m]

本文由读者提供，Github地址：https://github.com/tonngw

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剑指offer